POLINOMIOS

SEGUNDO CASO (FACTOR COMÚN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS)

¿Por qué se llama así el caso?
Porque se toman "grupos" de términos para sacar Factor Común entre ellos

.¿Y por qué se eligen "grupos" de términos?
Porque en el polinomio no hay un Factor Común para todos los términos, pero sí lo hay para algunos términos entre sí. Con estos términos que tienen factor común entre sí es que se arman los "grupos"

.¿Y siempre se puede aplicar este caso?
No, el polinomio tiene que cumplir varias condiciones para que se pueda aplicar el caso:
1. El número de términos debe ser par: 4 términos, 6 términos, 8 términos... (Para que se puedan armar grupos de igual cantidad de términos).
2. En todos los grupos que armemos tienen que haber Factor Común entre los términos que agrupamos (con un caso excepcional: ver EJEMPLO 10).
3. Los "resultados" de sacar Factor Común en los distintos grupos deben dar iguales, o con los mismos términos desordenados y/u opuestos (con signo contrario)  

¿Si los resultados me dan diferentes, significa siempre que no podré aplicar el caso?
No siempre, porque puedes probar agrupando de distinta manera. Muchas veces la dificultad de este Caso está justamente en encontrar cuáles términos agrupar con cuáles, para que el resultado dé como tiene que dar. Que no dé bien en un primer intento no quiere decir que no pueda aplicarse.

¿Cómo tienen que ser los "resultados" para poder seguir con el caso?
Luego de agrupar y sacar Factor Común en los grupos, los resultados tienen que ser de alguna de las siguientes formas:
1. Iguales. Por ejemplo, (x + 3) en un agrupación, y (x + 3) en otra agrupación
2. Los mismos términos, pero desordenados. Por ejemplo (x + 3) y (3 + x)
3. Los mismos términos, pero con los signos contrarios. Por ejemplo, (x + 3) y (-x - 3). O también (x - 3) y (-x + 3)
4. Los mismos términos, pero desordenados y con los signos contrarios. Por ejemplo: (x + 3) y (-3 - x). O también (x - 3) y (3 - x)
5. Caso excepcional (EJEMPLO 10): El resultado de una agrupación tiene que ser igual (o también "desordenado y/u opuesto") a los términos que quedan sin agrupar. Por ejemplo:
4x2. (x + 1) + x + 1Se puede ver que luego de agrupar el primer y segundo término, el resultado es (x + 1), casualmente igual a los otros dos términos que quedaron sin agrupar (porque no había Factor Común entre ellos).

¿Cuándo desisto de usar el caso?
Cuando probé agrupar de distintas maneras y nunca dan resultados que sirvan (Ver los resultados que sirven en la pregunta anterior).

¿Cómo me doy cuenta de que dos términos son iguales pero están desordenados?
Piensa en cada término con el signo que tiene delante. Y recordemos que si un término no tiene nigún signo delante, hay que asumir que tiene el signo "+". Mira estos ejemplos:
(x + 3) es igual a (3 + x), porque los términos son "la x positiva (+x)" y "el 3 positivo (+3)" (En realidad, es porque la suma cumple una propiedad llamada "Conmutativa")
(a - b) es igual a (-b + a), porque los términos son "la a positiva (+a)" y "el b negativo (-b)".
(-x - 1) es igual a (-1 - x), porque son los términos "x negativa (-x)" y "1 negativo (-1)

"¿Cómo me doy cuenta de que son dos términos iguales pero con el signo contrario (o sea, que son "opuestos")?
Igual que en el punto anterior, mirando atentamente cada término con su signo (el signo que tiene delante; y si no hay nada, hay un "+"). Por ejemplo:
(x + 5) tiene los signos contrarios a (-x - 5)
(x - 3) tiene los signos contarios a (-x + 3)

¿Cómo me doy cuenta de que son dos términos iguales pero desordenados y con el signo contrario?
De la misma manera que en los dos puntos anteriores: Mirando atentamente cada término con su signo (el signo que tiene delante; y si no hay nada, hay un "+"). Por ejemplo:
(x + 5) es "desordenado y contrario" con (-5 - x)
(x - 4) es "desordenado y contrario" con (4 - x)
(-x + 1) es "desordenado y contario" con (-1 + x)

4a - 4b + xb - xa =
4.(a - b) + x.(b - a) =
4.(a - b) - x.(-b + a) =
4.(a - b) - x.(a - b) =
(a - b).(4 - x)
Luego de agrupar, los resultados quedan desordenados, y con el signo opuesto cada término. En el segundo paso, "saco el menos afuera y hago un cambio de signos" (como en el Ejemplo 5); y en el tercer paso cambio el orden de los términos, ya que (- b + a) es igual que (a - b)

OCTAVO CASO (CUBO PERFECTO)

CUBO PERFECTO DE BINOMIOS

Una expresión algebraica ordenada con respecto a una letra es un cubo perfecto, si cumple las siguientes condiciones: 

1). Tener cuatro términos

2). El primer y último término sean cubos perfectos (tienen raíz cúbica exacta).

3). El segundo término es tres veces el producto del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del último término.

4). El tercer término sea tres veces, el producto de la raíz del primer término por el cuadrado de la raíz del último término.

5). El primer y tercer términos son positivos, el segundo y el cuarto términos tienen el mismo signo (positivo o negativo).
Si todos los términos son positivos, el polinomio dado es el cubo de la suma de las raíces cúbicas del primer y último términos. Y si los términos son alternadamente positivos y negativos el polinomio dado es el cubo de la diferencia de las raíces.

EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIOS PROPUESTOS

Ejercicio 106  debe buscar los polinomios identificarlos y realizar su correspondiente procedimiento