Procedimiento para resolver problemas de sistemas de ecuaciones con dos incógnitas

El procedimiento para resolver problemas con dos incógnitas es el siguiente:

1. Identificar las incógnitas del problema: Debemos saber qué es lo que nos está preguntando el problema
2. Asignar una variable o letra a cada incógnita: A una de las incógnitas del problema le llamaremos «x» y a la otra de llamaremos «y».
3. Plantear ecuaciones traduciendo el enunciado a lenguaje algebraico: Necesitaremos plantear dos ecuaciones a partir del enunciado del problema
4. Resolver el sistema por el método más adecuado: Una vez tenemos nuestras dos ecuaciones con dos incógnitas, debemos resolver el sistema por el método que resulte más sencillo de resolver, ya sea por el de sustitución, por el de igualación o por el de reducción.
5. Interpretar la solución: Una vez tenemos la solución del sistema, debemos interpretarla para darle un sentido, obteniendo así la solución del problema

EJEMPLO

Problema de números

Calcula dos números cuya suma sea 193 y su diferencia 67.

En primer lugar debemos identificar qué es lo que nos pregunta el problema. En este caso, nos pregunta por dos números, por lo que a un número le llamaremos «x» y al otro número le llamaremos «y»:

Ahora, con nuestros números «x» e «y» iremos traduciendo el enunciado a lenguaje algebraico.

1. La suma de dos números es 193:                La diferencia de dos números es 67:

X+Y = 193                                                       X-Y = 67

Tenemos por tanto un sistema dos ecuaciones con dos incógnitas que tenemos que resolver:

                                        X+Y = 193   Ecuación 1

                                        X-Y = 67     Ecuación 2

solucionando por el método de su preferencia Y= 63 y X = 130

2. En un corral hay conejos y gallinas. En total hay 50 cabezas y 134 patas. ¿Cuántos conejos y gallinas hay en la granja?

En este problema nos pregunta por el número de conejos y gallinas. A los conejos le llamamos «x» y a las gallinas «y»

Nos dice que en total hay 50 cabezas. Como tanto los conejos como las gallinas tienen una cabeza si sumamos el número de conejos más el número de gallinas, es decir, x+y, su resultado es 50, luego ya tenemos la primera ecuación: 

                                X +Y = 50  Ecuación 1

También nos dice que hay 134 patas. Los conejos tienen 4 patas y las gallinas 2, luego si multiplicamos el número de patas de los conejos por el número de conejos, es decir, 4x y el número de patas de las gallinas por le número de gallinas, es decir, 2y, su resultado es de 134, por tanto, ya tenemos la segunda ecuación: 

                               4X + 2Y  = 134  Ecuación 2

Al resolver el sistema por el método deseado Y = 33  X= 17, lo que quiere decir que hay 17 conejos y 33 gallinas.

EJERCICIOS RESUELTOS

EJERCICIOS PROPUESTOS

1. Dos kilos de plátanos y tres  kilos de peras cuestan 7800 pesos. Cinco kilos de plátanos y cuatro kilos  de peras cuestan 13200 pesos. ¿A cómo está el kilo de plátanos y el de peras? 

2. He comprado un DVD y me ha costado 10500 pesos. Lo he pagado con 12 billetes de dos tipos, de 500 pesos y de 1000 pesos. ¿Cuántos billetes de cada clase he entregado?

3.Halla dos números tales que la suma de un tercio del primero más un quinto del segundo sea igual a 13 y que si se multiplica el primero por 5 y el segundo por 7 se obtiene 247 como suma de los dos productos.  

4. El perímetro de un rectángulo es 64cm y la diferencia entre las medidas de la base y la altura es 6cm. Calcula las dimensiones de dicho rectángulo.

5. La edad de Manuel es el doble de la edad de su hija Ana. Hace diez años, la suma de las edades de ambos era igual a la edad actual de Manuel. ¿Cuál es la edad actual de cada uno?