La regla de tres simple es una forma de resolver problemas, que esencialmente se tratan de situaciones en las que se nos presentan proporciones directas o indirectas. En estas situaciones siempre tendremos tres variables conocidas y otra la cual desconocemos (llamada incógnita), la cual despejaremos. 

a) Regla de tres simple directa.

Esta regla de tres la podemos encontrar cuando tenemos un problema en el cual las magnitudes son directamente proporcionales entre sí. Vemos un ejemplo y os lo explico sobre la marcha:

Para la preparación de un determinado compuesto, en el laboratorio, han de mezclar ciertos ingredientes, cuya cantidad asciende a 120 litros. El coste total de ese volumen es de 40€. El gerente de la fabrica nos pregunta el presupuesto para poder producir 270 litros dentro de un mes. ¿Cuál es la respuesta que le daríamos al gerente? 

En este caso, las magnitudes son inversamente proporcionales, por lo que la resolución cambia un poco. Vamos a ver un ejemplo, este caso con la velocidad, que como ya hemos dicho, tiempo y velocidad son magnitudes inversamente proporcionales: 

Un metro, que viaja a 60 km/h tarda 30 minutos en llegar al centro de la ciudad. Si en lugar de este elegimos ir en bus, ¿Cuánto tardaremos en llegar si la velocidad es de 70 km/h? 

La regla de tres compuesta directa es aquella en la que las magnitudes tienen una relación directamente proporcional con la magnitud de la que desconocemos uno de sus valores.

Recordamos que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una, aumenta la otra o cuando al disminuir una, disminuye la otra.

Por ejemplo, si tenemos 3 magnitudes implicadas A, B y C, donde desconocemos uno de los valores de la magnitud C, para que la regla de tres compuesta sea directa A y C deben ser directamente proporcionales y por otro lado, B y C también deben ser directamente proporcionales.

Cómo resolver una regla de tres compuesta directa

Para resolver la regla de tres compuesta directa, colocamos en la primera columna de la regla de tres los valores de una de las dos magnitudes que conozcamos todas sus valores, por ejemplo de la magnitud A, en la segunda columna, los valores de la otra magnitud que conocemos, por ejemplo de la magnitud B y en la última columna, el valor que conocemos de C y el valor que no conocemos de C al que llamaremos x 

En las dos primeras columnas da igual si colocamos A o B en cualquiera de ellas. Lo que sí es obligatorio es colocar la magnitud sobre la que desconocemos uno de sus valores en la última columna.

Ahora multiplicamos en línea los valores de las magnitudes que si conocemos y dejamos el resultado en una sola columna, quedando:

Tenemos ahora una regla de tres simple directa, donde x será igual a la fracción cuyo numerador estará formado por la multiplicación de las cantidades que están en la diagonal opuesta a la x y cuyo denominador la formará la cantidad que está en al misma diagonal que la x: 

Para una manualidad, hemos llenado de arena 3 botellas de plástico de 1,5 litros y entre todas pesan 7 kg. ¿Cuánto pesarán 4 botellas de 2 litros?

El primer paso es identificar las magnitudes implicadas en el problema, que son:

1. Número de botellas
2. Capacidad de las botellas (litros)
3. Peso de todas las botellas (kg)

Ahora tenemos que identificar la relación de proporcionalidad de la magnitud de la que desconocemos uno de sus valores con las otras dos, es decir, entre el peso de las botellas con el número de botellas y entre el peso de las botellas con la capacidad de las botellas.

Relación de proporcionalidad entre el peso de las botellas y el número de botellas

Si aumento el número de botellas, el peso de las botellas también aumenta y si disminuyo el número de botellas, el peso disminuye, por lo que estas dos magnitudes son directamente proporcionales.

Relación de proporcionalidad entre el peso de las botellas y la capacidad de las botellas

Si aumento la capacidad de botellas, el peso de las botellas también aumenta y si disminuyo la capacidad de las botellas, el peso disminuye, por lo que estas dos magnitudes también son directamente proporcionales.

En la primera columna colocamos las botellas, en la segunda columna los litros y en la última columna los kilos, que es la magnitud donde me falta por saber uno de sus valores:

Regla de tres compuesta inversa

La regla de tres compuesta inversa es aquella en la que las magnitudes tienen una relación inversamente proporcional con la magnitud de la que desconocemos uno de sus valores.

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, disminuye la otra o cuando al disminuir una, aumenta la otra.

Por ejemplo, si tenemos 3 magnitudes implicadas A, B y C, donde desconocemos uno de los valores de la magnitud C, para que la regla de tres compuesta sea inversa A y C deben ser inversamente proporcionales y por otro lado, B y C también deben ser inversamente proporcionales.

Cómo resolver una regla de tres compuesta inversa

Para resolver la regla de tres compuesta inversa, colocamos en la primera columna los valores de una de las dos magnitudes que conozcamos todas sus valores, por ejemplo de la magnitud A, en la segunda columna, los valores de la otra magnitud que conocemos, por ejemplo de la magnitud B y en la última columna, el valor que conocemos de C y el valor que no conocemos de C al que llamaremos x:

Al igual que pasaba con la regla de tres compuesta directa, en las dos primeras columnas da igual si colocamos la magnitud A o la magnitud B en cualquiera de ellas. Lo que sí es obligatorio es colocar la magnitud de la que desconocemos uno de sus valores en la última columna.

Ahora invertimos el orden a los valores de las magnitudes, es decir, los valores que están abajo los ponemos arriba y viceversa: A2 lo ponemos arriba y A1 abajo y con B2 y B1 hacemos lo mismo. La regla de tres queda de la siguiente forma:

La diferencia de la regla de tres compuesta inversa con la regla de tres compuesta directa es que en la primera hemos invertido el orden de los valores de las magnitudes. 

 pintores tardan 15 días en pintar una nave industrial, trabajando 8 horas diarias. ¿Cuántos días tardarán 5 pintores trabajando 7 horas diarias?

Identificamos las magnitudes implicadas en el problema:

1. Número de pintores
2. Número de días
3. Número de horas diarias

Ahora tenemos que identificar la relación de proporcionalidad de la magnitud de la que desconocemos uno de sus valores con las otras dos, es decir, entre el número de días con el número de pintores y entre el número de días con el número de horas diarias.

Relación de proporcionalidad entre el número de días y el número de pintores

Si aumento el número de pintores, el número de días que tardan en pintar disminuye y si disminuyo el número de pintores, el número de días aumenta, por lo que estas dos magnitudes son inversamente proporcionales.

Relación de proporcionalidad entre el número de días y el número de horas diarias

Si aumento el número de horas diarias, el número de días que tardan en pintar disminuye y si disminuyo el número de horas diaria, el número de días aumenta, por lo que estas dos magnitudes también son inversamente proporcionales.

En la primera columna colocamos el número de pintores, en la segunda columna el número de horas diarias y en la última columna el número de días, que es la magnitud donde me falta por saber uno de sus valores:

Invertimos los valores de las magnitudes, es decir, el 5 de los pintores pasa arriba y el 3 abajo y el 7 de las horas/día pasa arriba y el 8 abajo: